初等变换和广义初等变换——要点部分

文章目录

一、初等变换1. 互换变换2. 倍加变换3. 倍乘变换4. 性质

二、广义初等变换1. 广义换法变换2. 广义消法变换3. 广义倍法变换

一、初等变换

1. 互换变换

第

i

i

i行和第

j

j

j行互换：

E

i

j

E_{ij}

Eij​第

i

i

i列和第

j

j

j列互换：

E

i

j

E_{ij}

Eij​

【例】第

1

1

1行和第

2

2

2行互换，或第

1

1

1列和第

2

2

2列互换：

E

12

=

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

E12​=

​010​100​001​

​

【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？

（1）行互换：设矩阵

A

=

[

α

1

α

2

α

3

]

A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]

A=

​α1​α2​α3​​

​，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为行向量，则第

1

1

1行和第

2

2

2行互换后得到

B

=

[

α

2

α

1

α

3

]

=

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

[

α

1

α

2

α

3

]

=

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

A

B = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A

B=

​α2​α1​α3​​

​=

​010​100​001​

​

​α1​α2​α3​​

​=

​010​100​001​

​A。

（2）列互换：设矩阵

A

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

A=(α1​,α2​,α3​)，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为列向量，则第

1

1

1列和第

2

2

2列互换后得到

B

=

(

α

2

,

α

1

,

α

3

)

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

=

A

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

B=(α2​,α1​,α3​)=(α1​,α2​,α3​)

​010​100​001​

​=A

​010​100​001​

​。

2. 倍加变换

第

i

i

i行的

k

k

k倍加到第

j

j

j行：

E

i

j

(

k

)

E_{ij}(k)

Eij​(k)第

i

i

i列的

k

k

k倍加到第

j

j

j列：

E

i

j

(

k

)

E_{ij}(k)

Eij​(k)

【例】第

1

1

1行的

3

3

3倍加到第

2

2

2行，或第

2

2

2列的

3

3

3倍加到第

1

1

1列：

E

12

(

3

)

=

[

1

0

0

3

1

0

0

0

1

]

E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

E12​(3)=

​130​010​001​

​

【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？

（1）行倍加：设矩阵

A

=

[

α

1

α

2

α

3

]

A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]

A=

​α1​α2​α3​​

​，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为行向量，则第

1

1

1行的

3

3

3倍加到第

2

2

2行后得到

B

=

[

α

1

α

2

+

3

α

1

α

3

]

=

[

1

0

0

3

1

0

0

0

1

]

[

α

1

α

2

α

3

]

=

[

1

0

0

3

1

0

0

0

1

]

A

B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A

B=

​α1​α2​+3α1​α3​​

​=

​130​010​001​

​

​α1​α2​α3​​

​=

​130​010​001​

​A。

（2）列倍加：设矩阵

A

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

A=(α1​,α2​,α3​)，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为列向量，则第

2

2

2列的

3

3

3倍加到第

1

1

1列后得到

B

=

(

α

1

+

3

α

2

,

α

2

,

α

3

)

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

[

1

0

0

3

1

0

0

0

1

]

=

A

[

1

0

0

3

1

0

0

0

1

]

B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

B=(α1​+3α2​,α2​,α3​)=(α1​,α2​,α3​)

​130​010​001​

​=A

​130​010​001​

​。

3. 倍乘变换

第

i

i

i行乘

k

k

k：

E

i

(

k

)

E_{i}(k)

Ei​(k)第

i

i

i列乘

k

k

k：

E

i

(

k

)

E_{i}(k)

Ei​(k)

【例】第

3

3

3行乘

−

2

-2

−2，或第

3

3

3列乘

−

2

-2

−2：

E

3

(

−

2

)

=

[

1

0

0

0

1

0

0

0

−

2

]

E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]

E3​(−2)=

​100​010​00−2​

​

【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？

（1）行倍乘：设矩阵

A

=

[

α

1

α

2

α

3

]

A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]

A=

​α1​α2​α3​​

​，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为行向量，则第

3

3

3行乘

−

2

-2

−2后得到

B

=

[

α

1

α

2

−

2

α

3

]

=

[

1

0

0

0

1

0

0

0

−

2

]

[

α

1

α

2

α

3

]

=

[

1

0

0

0

1

0

0

0

−

2

]

A

B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A

B=

​α1​α2​−2α3​​

​=

​100​010​00−2​

​

​α1​α2​α3​​

​=

​100​010​00−2​

​A。

（2）列倍乘：设矩阵

A

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

A=(α1​,α2​,α3​)，其中

α

1

,

α

2

,

α

3

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

α1​,α2​,α3​为列向量，则第

3

3

3列乘

−

2

-2

−2后得到

B

=

(

α

1

,

α

2

,

−

2

α

3

)

=

(

α

1

,

α

2

,

α

3

)

[

1

0

0

0

1

0

0

0

−

2

]

=

A

[

1

0

0

0

1

0

0

0

−

2

]

B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]

B=(α1​,α2​,−2α3​)=(α1​,α2​,α3​)

​100​010​00−2​

​=A

​100​010​00−2​

​。

4. 性质

（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）

互换：

E

i

j

−

1

=

E

i

j

E_{ij}^{-1} = E_{ij}

Eij−1​=Eij​倍加：

E

i

j

−

1

(

k

)

=

E

i

j

(

−

k

)

E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k)

Eij−1​(k)=Eij​(−k)倍乘：

E

i

−

1

(

k

)

=

E

i

(

1

k

)

E_{i}^{-1}(k) = E_{i}(\frac{1}{k})

Ei−1​(k)=Ei​(k1​)

（2）幂次方

互换：

E

i

j

n

=

{

E

i

j

,

n

为偶数

E

,

n

为奇数

E_{ij}^{n} = \begin{cases} E_{ij}, & n为偶数 \\ E, & n为奇数\end{cases}

Eijn​={Eij​,E,​n为偶数n为奇数​倍加：

E

i

j

n

(

k

)

=

E

i

j

(

n

k

)

E_{ij}^{n}(k) = E_{ij}(nk)

Eijn​(k)=Eij​(nk)倍乘：

E

i

n

(

k

)

=

E

i

(

k

n

)

E_{i}^{n}(k) = E_{i}(k^n)

Ein​(k)=Ei​(kn)

（3）行列式

互换：

∣

E

i

j

∣

=

−

1

|E_{ij}| = -1

∣Eij​∣=−1倍加：

∣

E

i

j

(

k

)

∣

=

1

|E_{ij}(k)| = 1

∣Eij​(k)∣=1倍乘：

∣

E

i

(

k

)

∣

=

k

(

k

≠

0

)

|E_{i}(k)| = k(k \neq 0)

∣Ei​(k)∣=k(k=0)

（4）转置

互换：

E

i

j

T

=

E

i

j

E_{ij}^{\mathrm{T}} = E_{ij}

EijT​=Eij​倍加：

E

i

j

T

(

k

)

=

E

j

i

(

k

)

E_{ij}^{\mathrm{T}}(k) = E_{ji}(k)

EijT​(k)=Eji​(k)倍乘：

E

i

T

(

k

)

=

E

i

(

k

)

E_{i}^{\mathrm{T}}(k) = E_{i}(k)

EiT​(k)=Ei​(k)

二、广义初等变换

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。

1. 广义换法变换

与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为

[

O

E

E

O

]

\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right]

[OE​EO​]，其行列式的值均不为

0

0

0，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第

2

2

2行与第

1

1

1行互换：

[

A

B

C

D

]

→

r

1

↔

r

2

[

C

D

A

B

]

等价于

[

O

E

E

O

]

[

A

B

C

D

]

=

[

C

D

A

B

]

（行变换需左乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]r1​↔r2​

​[CA​DB​][OE​EO​][AC​BD​]=[CA​DB​]（行变换需左乘）​

（2）第

2

2

2列与第

1

1

1列互换：

[

A

B

C

D

]

→

c

1

↔

c

2

[

B

A

D

C

]

等价于

[

A

B

C

D

]

[

O

E

E

O

]

=

[

B

A

D

C

]

（列变换需右乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1 \leftrightarrow c_2} \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]c1​↔c2​

​[BD​AC​][AC​BD​][OE​EO​]=[BD​AC​]（列变换需右乘）​

2. 广义消法变换

与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：

[

E

M

O

E

]

\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right]

[EO​ME​]和

[

E

O

M

E

]

\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right]

[EM​OE​]，其行列式的值均不为

0

0

0，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第

2

2

2行左乘矩阵

M

M

M后加到第

1

1

1行：

[

A

B

C

D

]

→

r

1

+

M

r

2

[

A

+

M

C

B

+

M

D

C

D

]

等价于

[

E

M

O

E

]

[

A

B

C

D

]

=

[

A

+

M

C

B

+

M

D

C

D

]

（行变换需左乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1+Mr_2} \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]r1​+Mr2​

​[A+MCC​B+MDD​][EO​ME​][AC​BD​]=[A+MCC​B+MDD​]（行变换需左乘）​

（2）第

1

1

1行左乘矩阵

M

M

M后加到第

2

2

2行：

[

A

B

C

D

]

→

r

2

+

M

r

1

[

A

B

C

+

M

A

D

+

M

B

]

等价于

[

E

O

M

E

]

[

A

B

C

D

]

=

[

A

B

C

+

M

A

D

+

M

B

]

（行变换需左乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_2+Mr_1} \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]r2​+Mr1​

​[AC+MA​BD+MB​][EM​OE​][AC​BD​]=[AC+MA​BD+MB​]（行变换需左乘）​

（3）第

2

2

2列右乘矩阵

M

M

M后加到第

1

1

1列：

[

A

B

C

D

]

→

c

1

+

c

2

M

[

A

+

B

M

B

C

+

D

M

D

]

等价于

[

A

B

C

D

]

[

E

O

M

E

]

=

[

A

+

B

M

B

C

+

D

M

D

]

（列变换需右乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1+c_2M} \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]c1​+c2​M

​[A+BMC+DM​BD​][AC​BD​][EM​OE​]=[A+BMC+DM​BD​]（列变换需右乘）​

（4）第

1

1

1列右乘矩阵

M

M

M后加到第

2

2

2列：

[

A

B

C

D

]

→

c

2

+

c

1

M

[

A

B

+

A

M

C

D

+

C

M

]

等价于

[

A

B

C

D

]

[

E

M

O

E

]

=

[

A

B

+

A

M

C

D

+

C

M

]

（列变换需右乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2+c_1M} \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]c2​+c1​M

​[AC​B+AMD+CM​][AC​BD​][EO​ME​]=[AC​B+AMD+CM​]（列变换需右乘）​

3. 广义倍法变换

与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：

[

M

O

O

E

]

\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right]

[MO​OE​]和

[

E

O

O

M

]

\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right]

[EO​OM​]，其行列式的值为

∣

M

∣

|M|

∣M∣，此时分为两种情况：当

∣

M

∣

≠

0

|M| \neq 0

∣M∣=0时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当

∣

M

∣

=

0

|M|=0

∣M∣=0时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。

（1）第

1

1

1行左乘矩阵

M

（

∣

M

∣

≠

0

）

M（|M| \neq 0）

M（∣M∣=0）：

[

A

B

C

D

]

→

M

r

1

[

M

A

M

B

C

D

]

等价于

[

M

O

O

E

]

[

A

B

C

D

]

=

[

M

A

M

B

C

D

]

（行变换需左乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_1} \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]Mr1​

​[MAC​MBD​][MO​OE​][AC​BD​]=[MAC​MBD​]（行变换需左乘）​

（2）第

2

2

2行左乘矩阵

M

（

∣

M

∣

≠

0

）

M（|M| \neq 0）

M（∣M∣=0）：

[

A

B

C

D

]

→

M

r

2

[

A

B

M

C

M

D

]

等价于

[

E

O

O

M

]

[

A

B

C

D

]

=

[

A

B

M

C

M

D

]

（行变换需左乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_2} \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]Mr2​

​[AMC​BMD​][EO​OM​][AC​BD​]=[AMC​BMD​]（行变换需左乘）​

（3）第

1

1

1列右乘矩阵

M

（

∣

M

∣

≠

0

）

M（|M| \neq 0）

M（∣M∣=0）：

[

A

B

C

D

]

→

c

1

M

[

A

M

B

C

M

D

]

等价于

[

A

B

C

D

]

[

M

O

O

E

]

=

[

A

M

B

C

M

D

]

（列变换需右乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1M} \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]c1​M

​[AMCM​BD​][AC​BD​][MO​OE​]=[AMCM​BD​]（列变换需右乘）​

（4）第

2

2

2列右乘矩阵

M

（

∣

M

∣

≠

0

）

M（|M| \neq 0）

M（∣M∣=0）：

[

A

B

C

D

]

→

c

2

M

[

A

B

M

C

D

M

]

等价于

[

A

B

C

D

]

[

E

O

O

M

]

=

[

A

B

M

C

D

M

]

（列变换需右乘）

\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2M} \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

等价于​[AC​BD​]c2​M

​[AC​BMDM​][AC​BD​][EO​OM​]=[AC​BMDM​]（列变换需右乘）​

（原本还想加一些题目，无奈保存草稿时已经提示爆字数了，所以之后会另开一篇文章专门讲解例题）

续：初等变换和广义初等变换——例题部分